宇宙中可见物质为 4%，暗物质和暗能量占 96% 是怎么算出来的？

2016/2/2 Uncategorized

原文链接：
http://www.cnblogs.com/Mushrooms/p/5178175.html

回忆一下高中时学的万有引力定律那一部分的知识：离恒星越远的行星，线速度越慢。

具体一点来说，因为向心力由万有引力提供，所以：

$\frac{mv^{2}}{r} =\frac{GMm}{r^{2}}$

可以推出：

$v\propto \frac{1}{\sqrt{r} }$

同样地，对于一个旋转的星系来说，其线速度与轨道半径关系大致应该是这样（图片均来自网络）：

然而当我们实际观测星系的时候，（利用光谱红移等等现象）发现线速度与半径的关系完全不是这样！！而是这样（图中B曲线）：

随着轨道半径的增加，线速度竟然趋近一个常数！

这里有视频：https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AGalaxy_rotation_under_the_influence_of_dark_matter.ogv

这怎么解释？

于是人们推测，可能星系中存在大量我们目前观测不到的物质，使得星系密度与半径有如下关系：

$\rho (r)=\frac{K}{r^{2}}$ ，K是一个常数。

根据 Newton’s Shell Theorem 可得：

$\frac{mv^{2}}{r} =\frac{GM(<r)m}{r^{2}}$

（依然是向心力等于万有引力，但万有引力只跟距离r以内的质量有关系。）

两边消去m,

$\frac{v^{2}}{r} =\frac{GM(<r)}{r^{2}}$

那么距离r以内的质量 $M(<r)$ 怎么计算呢？

$M(<r)=\int_{0}^{r} 4\pi r'^{2}dr' \rho(r')$

上式其实就是质量等于体积乘密度啦，只不过因为密度随距离变化，所以需要用积分。 $M(<r)$ 带入之前的式子里，得到：

$\frac{v^{2}}{r} =\frac{G }{r^{2}} \int_{0}^{r} 4\pi r'^{2}dr' \frac{K}{r'^{2}}$

化简得到：

$v^2=4\pi GK$

$v=\sqrt{4\pi GK}$

当我们假设了存在观测不到的物质后， $v$ 就是一个常数了！！

而且当我们知道线速度之后，就可以算出 $K=\frac{v^2}{4\pi G}$ 的值。

代入到密度的函数中：

$\rho (r)=\frac{K}{r^{2}}=\frac{v^{2}}{4\pi Gr^{2}}$

于是星系的质量为：

$M_{Galaxy}=\int_{0}^{r_{max}} \rho(r') 4\pi r'^{2}dr' =\frac{v^{2}r_{max}}{G}$

一般来说，星系的半径 $r_{max}$ 在100~200kpc之间（这里我代入100kpc），线速度约为220km/s。于是可以算出星系的质量约为：

$M_{Galaxy}\approx 2\times 10^{42}kg$

而太阳的质量约为：

$M_{Sun}\approx 2\times10^{30}kg$

也就是说， $M_{Galaxy}\approx 10^{12}M_{Sun}$

而我们能观测到的星系质量约为：

$M_{Visible}\approx 10^{11}M_{Sun}$

所以，这么算下来我们能观测到的质量大概只占总质量的10%，如果代入更大的 $r_{max}$ ，就发现这个比例更小。

具体可见：Galaxy rotation curve

评论里有人问可观测的质量是怎么知道的。

方法有不少，我大概说一下：可以通过观测binary stars（联星）的运动算出来；也可以通过luminosity（光度）与质量之间的关系算出来；也可以通过恒星oscillate的轨迹算出其密度，然后求得质量。

知道了各种恒星的质量之后，就可以测量它们发出的光，然后计算它们各自的M/L（Mass-to-light ratio）。然后对于一个给定的星系，观测其发出的光，然后乘上M/L，就可以得到星系的质量了。

来自知乎：https://www.zhihu.com/question/35511154#answer-24163708

知乎上真是各路大神。

转载于:https://www.cnblogs.com/Mushrooms/p/5178175.html