2.6对偶锥与广义不等式

对偶锥
广义不等式的对偶
对偶不等式定义的最小元和极小元

对偶锥

锥K的对偶锥是集合 $K^*=\left\{y|x^Ty\geqslant 0,\forall x\in K \right \}$

对偶锥

如上图左图的y是K的对偶锥的一个元素，右图z不是K的对偶锥的元素，几何上看 $y\in K^*$ 当且仅当-y是K在原点的一个支撑超平面的法向量。

广义不等式的对偶

如果K是正常锥，则K可导出一个广义不等式，并且K的对偶也是正常锥，其对偶也可以导出一个广义不等式。

定义：广义不等式 $\preceq_{K^*}$ 为广义不等式 $\preceq_K$ 的对偶。

$y\succeq_{K^*}0\Leftrightarrow y^Tx\geq 0,\forall x\succeq_K 0$

对偶不等式定义的最小元和极小元

x是集合S上关于广义不等式 $\preceq_K$ 的最小元的充要条件是， $\forall \lambda \succeq_{K^*}0$ ，x是在 $z\in S$ 上极小化 $\lambda ^Tz$ 的唯一最优解。

几何上意味着， $\forall \lambda \succeq_{K^*}0$ ，超平面 $\left \{ z|\lambda^T(z-x)=0 \right \}$ 是S在x处的一个严格支撑超平面（即这个超平面至于S相交于x一个点，换句话说， $\forall \lambda \succeq_{K^*}0$ ，超平面 $\left \{ z|\lambda^T(z-x)=0 \right \}$ 都只与S相交于点x。）。

x是集合S上关于广义不等式 $\preceq_K$ 的极小元的充要条件是，对于一些 $\lambda \succeq_{K^*}0$ ，x是在 $z\in S$ 上极小化 $\lambda ^Tz$ 。

类似于最小元的几何意义，极小元就是对于某些 $\lambda \succeq_{K^*}0$ ，超平面 $\left \{ z|\lambda^T(z-x)=0 \right \}$ 与S相交于该极小元。

如上图 $x_1$ 是极小化 $\lambda_1^Tz$ 的解， $x_2$ 是极小化 $\lambda_2^Tz$ 的解。

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