相关系数r和决定系数R2的那些事

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相关系数 r r 和决定系数 R 2 R^2 的那些事

有人说相关系数（correlation coefficient， r r ）和决定系数（coefficient of determination， R 2 R^2 ，读作R-Squared）都是评价两个变量相关性的指标，且相关系数的平方就是决定系数？这种说法对不对呢？请听下文分解！

协方差与相关系数

要说相关系数，我们先来聊聊协方差。在之前的博文《使用Python计算方差协方差相关系数》中提到协方差是计算两个随机变量 X X 和 Y Y 之间的相关性的指标，定义如下：

C o v ( X , Y ) = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] \mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]

但是协方差有一个确定：它的值会随着变量量纲的变化而变化（covariance is not scale invariant），所以，这才提出了相关系数的概念：

r = C o r r ( X , Y ) = C o v ( X , Y ) σ X ⋅ σ Y = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] E [ X − E X ] 2 E [ Y − E Y ] 2 r = \mathrm{Corr}(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{\mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]}{\sqrt{\mathrm{E}[X - \mathrm{E}X]^2}\sqrt{\mathrm{E}[Y - \mathrm{E}Y]^2}}

对于相关系数，我们需要注意：

  1. 相关系数是用于描述两个变量线性相关程度的，如果 r > 0 r \gt 0 ，呈正相关；如果 r = 0 r = 0 ，不相关；如果 r < 0 r \lt 0 ，呈负相关。
  2. 如果我们将 X − E X X - \mathrm{E}X 和 Y − E Y Y - \mathrm{E}Y 看成两个向量的话，那 r r 刚好表示的是这两个向量夹角的余弦值，这也就解释了为什么 r r 的值域是[-1, 1]。
  3. 相关系数对变量的平移和缩放（线性变换）保持不变（Correlation is invariant to scaling and shift，不知道中文该如何准确表达，😅）。比如 C o r r ( X , Y ) = C o r r ( a X + b , Y ) \mathrm{Corr}(X, Y) = \mathrm{Corr}(aX + b, Y) 恒成立。

决定系数（R方）

下面来说决定系数，R方一般用在回归模型用用于评估预测值和实际值的符合程度，R方的定义如下：

R 2 = 1 − F V U = 1 − R S S T S S = 1 − ∑ i ( y i − f i ) 2 ∑ i ( y i − y ^ ) 2 R^2 = 1 - \mathrm{FVU} = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - f_i)^2}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2}

上式中 y y 是实际值， f f 是预测值， y ^ \hat{y} 是实际值的平均值。 F V U \mathrm{FVU} 被称为fraction of variance unexplained，RSS叫做Residual sum of squares，TSS叫做Total sum of squares。根据 R 2 R^2 的定义，可以看到 R 2 R^2 是有可能小于0的，所以 R 2 R2 不是 r r 的平方。一般地， R 2 R^2 越接近1，表示回归分析中自变量对因变量的解释越好。

对于 R 2 R^2 可以通俗地理解为使用均值作为误差基准，看预测误差是否大于或者小于均值基准误差。

此外，我们做这样一个变形： R 2 = 1 − ∑ i ( y i − f i ) 2 / n ∑ i ( y i − y ^ ) 2 / n = 1 − R M S E V a r R^2 = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - f_i)^2 / n}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2 / n} = 1 - \frac{\mathrm{RMSE}}{\mathrm{Var}} ，可以看到变成了1减去均方根误差和方差的比值（有利于编程实现）。

另外有一个叫做Explained sum of squares， E S S = ∑ i ( f i − y ^ ) 2 \mathrm{ESS} = \sum\limits_i(f_i - \hat{y})^2

在一般地线性回归模型中，有 E S S + R S S = T S S \mathrm{ESS} + \mathrm{RSS} = \mathrm{TSS} （证明过程参见：Partitioning in the general ordinary least squares model）

在这种情况下：我们有 R 2 = 1 − R S S T S S = E S S T S S = ∑ i ( f i − y ^ ) 2 ∑ i ( y i − y ^ ) 2 R^2 = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = \frac{\mathrm{ESS}}{\mathrm{TSS}} = \frac{\sum\limits_i(f_i - \hat{y})^2}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2}

对于 R 2 R^2 我们需要注意：

  1. R 2 R^2 一般用在线性模型中（虽然非线性模型总也可以用），具体参见：Regression Analysis: How Do I Interpret R-squared and Assess the Goodness-of-Fit?

  2. R 2 R^2 不能完全反映模型预测能力的高低

最后，这篇文章《8 Tips for Interpreting R-Squared》里面指出了不错误解读 R 2 R^2 的地方，读完之后，我觉得以后还是少用 R 2 R^2 ，对于模型的评估可以选择其它一些更适合的指标。

参考资料

[1]. The relationship between correlation and the coefficient of determination

[2]. Coefficient of determination

[3]. Explained sum of squares

[4]. Regression Analysis: How Do I Interpret R-squared and Assess the Goodness-of-Fit?

[5]. 8 Tips for Interpreting R-Squared


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