LintCode 151 买卖股票的最佳时机 III

今天做了两道动态规划的题目，感觉对动态规划有了更深入的了解。废话不多说，这是第一道。题目要求如下：

假设你有一个数组，它的第i个元素是一支给定的股票在第i天的价格。设计一个算法来找到最大的利润。你最多可以完成两笔交易。
注意事项：
你不可以同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)

给出样例如下：

给出一个样例数组 [4,4,6,1,1,4,2,5]，返回 6

题目给出的框架如下：

class Solution {
public:
    /** * @param prices: Given an integer array * @return: Maximum profit */
    int maxProfit(vector<int> &prices) {
        // write your code here
    }
};

---

解题思路

一开始的想法是用两个数组buy[]和sell[]来解决，状态转移方程为：

buy[i] = max(buy[i-1]，sell[i-1] - prices[i])
sell[i] = max(sell[i-1]，buy[i-1] + prices[i])

最后返回sell[len-1]，其中 i 为当前天数，len为总共的天数。

想法很简单，将当前状态分为已经买入股票和已经卖出股票这两种：

1. 如果第 i 天的状态为买入股票的话， 要么就是之前买了股票，第i天不买，对应于buy[i-1]；要么就是之前卖了股票，第i天买入股票，对应于sell[i-1] - prices[i])。

2. 同理， 如果第 i天的状态为卖出股票的话，要么就是之前卖了股票，第i天不卖，对应于sell[i-1]；要么就是之前买了股票，第i天卖掉，对应于buy[i-1]+ prices[i]。

但这忽视了一个条件：

你最多可以完成两笔交易！

因此，上面的状态转移方程解决的问题应该是 ：

不管你交易多少笔，你的最大获利是多少！

这是因为你没有限制交易多少笔，所以只要能获利，我就可以将交易增加到3次，4次甚至更多次，sell[len]的值也会相应的增加。

那如何限制交易的次数为2呢？

既然你说只能交易两次，那么我就对buy和sell的两次交易分别用两个数组存不就行了？！说做就做，状态转移方程如下：

firstBuy[i] = max(firstBuy[i - 1], -prices[i])

firstSell[i] = max(firstSell[i - 1], firstBuy[i - 1] + prices[i])

secondBuy[i] = max( secondBuy[i - 1], firstSell[i - 1] - prices[i])

secondSell[i] = max( secondSell[i - 1], secondBuy[i - 1] + prices[i])

方程很好理解：

1. 如果第 i 天为第一次买的状态，要么就是之前买过了，第i天不卖，对应于firstBuy[i -1]，要么就是之前没有买，第i天买入股票，对应于-prices[i]；

2. 如果第 i 天为第一次卖的状态，要么就是之前卖出了，第i天不买，对应于firstSell[i -1]，要么就是之前买入了股票，第i天卖出股票，对应于firstBuy[i - 1] + prices[i]；

3. 如果第 i 天为第二次买的状态，要么就是之前已经二次买过了，第i天不卖，对应于secondBuy[i -1]，要么就是之前卖过一次了，第i天再次买入股票，对应于firstSell[i - 1] - prices[i]；

4. 如果第 i 天为第二次卖的状态，要么就是之前已经二次卖过了，第i天不买，对应于secondSell[i -1]，要么就是之前第二次购买，第i天卖出股票，对应于secondBuy[i - 1] + prices[i]；

最后，还需要对第一天的买卖进行初始化：

firstBuy[0] = -prices[0]

secondBuy[0] = -prices[0]

firstSell[0] = 0

secondSell[0] = 0

代码实现

代码实现如下：

class Solution {
public:
    /** * @param prices: Given an integer array * @return: Maximum profit */
    int maxProfit(vector<int> &prices) {
        // write your code here
        const int len = prices.size();
        if (len == 0)
            return 0;
        int firstBuy[len];
        int secondBuy[len];
        int firstSell[len];
        int secondSell[len];
        firstBuy[0] = -prices[0];
        secondBuy[0] = -prices[0];
        firstSell[0] = 0;
        secondSell[0] = 0;
        for (int i = 1; i < len; ++i) {
            firstBuy[i] = max(firstBuy[i - 1], -prices[i]);
            firstSell[i] = max(firstSell[i - 1], firstBuy[i - 1] + prices[i]);
            secondBuy[i] = max(secondBuy[i - 1], firstSell[i - 1] - prices[i]);
            secondSell[i] = max(secondSell[i - 1],
                    secondBuy[i - 1] + prices[i]);
        }
        return secondSell[len - 1];
    }
};

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