1.【问题描述】    买卖股票的最佳时机 III

2.【思路】    参考：Best Time to Buy and Sell Stock III

题目要求是“最多可以完成两笔交易”。则一共有三种情况：不交易；完成一次交易；完成两次交易。其中，不交易的最大收益是0，完成一次交易包含当天买入当天卖出的情况，所以“完成一次交易”的方案已经包含了“不交易”，故总共有两种交易方案：完成一次交易和完成两次交易。用符号（i, j）表示在第i天到第j天的闭区间内完成一次交易所能获得的最大收益，其中1<=i<=N-1,i<=j<=N-1。这里的“完成·一次交易”包含以下几种情况：

2.1 在第k天买入，且在第k天卖出；i<=k<=j，收益为0

2.2 在第p天买入，且在第q天卖出，i<=p<q<=j  ，此时i<j，收益为prices[q]-prices[p]；

则原问题的解是：max{(1,1)+(1,N), (1,2)+(2,N),..., (1,N)+(N,N)}。此时可以参考  动态规划_最大子数组||_1

建立数组dp_i[N]，数组元素dp_i[i]是 只进行一次交易，且在第i天卖出股票时的最大收益，则dp_i[1]=0;  

dp_i[i]=max{dp_i[i-1]+prices[i]-prices[i-1],0}.

建立数组dpi[N]，数组元素dpi[i]=（1, i）。则dpi[1]=0;

dpi[i]=max{dpi[i-1],dp_i[i]}.

建立数组dp_N[N]，数组元素dp_N[i]是 只进行一次交易，且在第i天买入时的最大收益,，则dp_N[N]=0;

dp_N[i]=max{dp_N[i+1]+prices[i+1]-prices[i],0}.

建立数组dpN[N]，数组元素dpN[i]=（i, N）。则dpN[N]=0;

dpN[i]=max{dpN[i+1],dp_N[i]}.

3.【代码】

class Solution {
public:
    /**
     * @param prices: Given an integer array
     * @return: Maximum profit
     */
    int maxProfit(vector<int> &prices) {
        // write your code here
        int N=prices.size();
        if(N<2) {
            return 0;
        }
        vector<int> dp_i(N,0);
        for(int i=1;i<N;++i) {
            dp_i[i]=dp_i[i-1]+prices[i]-prices[i-1];
            dp_i[i]=dp_i[i]>0?dp_i[i]:0;
        }
        vector<int> dpi(N,0);
        for(int i=1;i<N;++i) {
            dpi[i]=dpi[i-1]>=dp_i[i]?dpi[i-1]:dp_i[i];
        }
        vector<int> dp_N(N,0);
        for(int i=N-2;i>=0;--i) {
            dp_N[i]=dp_N[i+1]+prices[i+1]-prices[i];
            dp_N[i]=dp_N[i]>=0?dp_N[i]:0;
        }
        vector<int> dpN(N,0);
        for(int i=N-2;i>=0;--i) {
            dpN[i]=dpN[i+1]>=dp_N[i]?dpN[i+1]:dp_N[i];
        }
        int res=0;
        for(int i=0;i<N;++i) {
            res=res>=(dpi[i]+dpN[i])?res:(dpi[i]+dpN[i]);
        }
        return res;
    }
};

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