陶哲轩实分析 4.2 节习题试解

4.2.1 证明比例数的定义是自反的、对称的以及传递的。

（a） 证明自反性

设 $x$ 是比例数，可表示为 $a//b$ 其中 $a$ 和 $b$ 是整数，$b \neq 0$ 。
因为 $ab = ab$ 所以 $x = x$

（b）证明对称性
设 $x$ 是比例数，可表示为 $a//b$ 其中 $a$ 和 $b$ 是整数，$b \neq 0$。
$y$ 也是比例数，可表示为 $c//d$ 其中 $c$ 和 $d$ 是整数，$d \neq 0$。
因为 $x = y$
所以 $ad = bc$
所以 $bc = ad$
所以 $y = x$

（c）证明传递性
设 $x$ 是比例数，可表示为 $a//b$ 其中 $a$ 和 $b$ 是整数，$b \neq 0$。
$y$ 也是比例数，可表示为 $c//d$ 其中 $c$ 和 $d$ 是整数，$d \neq 0$。
$z$ 也是比例数，可表示为 $e//f$ 其中 $e$ 和 $f$ 是整数，$f \neq 0$。

因为 $x = y$，$y = z$
所以 $ad = bc$，$cf = de$
所以 $adcf = bcde$
所以 $af(dc) = be(dc)$
这个等式表明，要么 $dc = 0$ 要么 $af = be$
如果 $dc = 0$ 又一直 d 不为 $0$，所以 $c = 0$
那么 $a = 0$，$e = 0$，蕴含 $af = be$
所以必然有 $af = be$
所以 $x = z$

4.2.2

设 $x$ 是比例数，可表示为 $a//b$ 其中 $a$ 和 $b$ 是整数，$b \neq 0$。
$y$ 也是比例数，可表示为 $c//d$ 其中 $c$ 和 $d$ 是整数，$d \neq 0$。
$y'$ 也是比例数，可表示为 $c'//d'$ 其中 $c'$ 和 $d'$ 是整数，$d' \neq 0$。

（a）若 $y = y'$，证明 $x y = x y'$
因为 $y = y'$，所以 $c d' = c' d$
$x y = ac // bd$，$x y' = ac' // bd'$
所以 $ac bd' = ab cd' = ab c'd = ac' bd$
所以 $xy = xy'$

（b） 若 $y = y'$，证明 $-y = -y'$
$-y = (-c)//d$，$-y' =(-c')//d'$
因为 $y = y'$，所以 $cd' = c' d$
所以 $(-c) d' = (- c)d'$
所以 $-y = -y'$

4.2.3

设 $x$ 是比例数，可表示为 $a//b$ 其中 $a$ 和 $b$ 是整数，$b \neq 0$。
$y$ 也是比例数，可表示为 $c//d$ 其中 $c$ 和 $d$ 是整数，$d \neq 0$。
$z$ 也是比例数，可表示为 $e//f$ 其中 $e$ 和 $f$ 是整数，$f \neq 0$。

（a） 证明 $x+y = y + x$

$$\begin{eqnarray} x+y &=& a//b + c//d \\ &=& (ad + bc)//bd \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} y+x &=& c//d + a//b \\ &=& (ad + bc)//bd \end{eqnarray}$$

所以 $x + y = y + x$

（b） $(x + y) +z = x + (y + z)$

$$\begin{eqnarray} (x+y) + z &=& (a//b + c//d) + e//f \\ &=& (ad + bc)//bd + e//f \\ &=& (bde + bcf + adf)//bdf \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} x +(y + z) &=& a//b + (c//d + e//f) \\ &=& a//b + (de + cf)//df\\ &=& (bde + bcf + adf)//bdf \end{eqnarray}$$
所以 $(x + y) +z = x + (y + z)$

（c） $x+0 = 0+x = x$

$$\begin{eqnarray} x + 0 = a//b + 0//1 = a // b\\ 0+ x = 0//1 + a//b = a//b \end{eqnarray}$$
所以 $x+0 = 0+x = x$

（d）$x + (-x) = (-x) + x = 0$

$$\begin{eqnarray} x + (-x) &=& a//b + (-a // b)\\ &=& (ab + (-ab)) // bb \\ &=& 0 //bb \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

（e）$xy = yx$

$$\begin{eqnarray} x y = a//b \times c//d = ac // bd = c//d \times a//b = yx \end{eqnarray}$$

（f）$(xy)z = x(yz)$

$$\begin{eqnarray} (x y)z &=& (a//b \times c//d) \times e//f \\ &=& ac // bd \times e //f \\ &=& ace//bdf\\ &=& a//b \times (cd//df) \\ &=& a//b \times (c//d \times e//f) \\ &=& x (yz) \end{eqnarray}$$

（g）$x \times 1 = 1 \times x = x$

$$\begin{eqnarray} x \times 1 &=& a//b \times 1//1 \\ &=& a//b \\ &=& x \\ &=& 1 //1 \times a//b \\ &=& 1 \times x \end{eqnarray}$$

（h）$x(y + z)=xy + xz$

$$\begin{eqnarray} x(y + z) &=& a//b \times(c//d + e//f) \\ &=& a//b \times (cf + de) // df \\ &=& (acf + ade) // bdf \\ &=& acf //bdf + ade //bdf \\ &=& ac//bd + ae // bf\\ &=& a//b \times c//d + a//b \times e // f\\ &=& x y + x z \end{eqnarray}$$

（i）$(y + z)x = yx + zx$

$$(y + z)x = x(y+ z) = xy + xz = yx + zx$$
（j） $x x^{-1} = x^{-1} x = 1$
$$x^{-1} = b//a \\ x x^{-1} = a // b \times b//a = 1//1 = 1\\ $$

4.2.4

设 $x$ 是比例数，可表示为 $a//b$ 其中 $a$ 和 $b$ 是整数，$b \neq 0$。
那么由整数的性质可知，$a$ 要么等于$0$，要么大于$0$，要么小于$0$。
当 $a = 0$ 时 $x = 0$。
当 $a > 0$ 时 $x > 0$。
当 $a < 0$ 时 $x < 0$。

4.2.5

设 $a = x - y$。那么 $z$ 要么等于$0$，要么大于$0$，要么小于$0$。
（a）
当 $a = 0$ 时 $x = y$。
当 $a > 0$ 时 $x > y$。
当 $a < 0$ 时 $x < y$。
（b）
$y - x = -a$
当 $a > 0$ 时 $x > y$，此时 $-a < 0$ 所以 $y < x$。

（c）若 $x < y, y < z$， 那么 $x < z$
$x - y = a < 0$
$y - z = b < 0$
那么 $x - z = x - y + y - z = a + b < 0$
所以 $x < z$

（d） 若 $x < y$ 那么 $x + z < y + z$
$(x + z ) - (y + z) = x - y < 0$
所以 $x + z < y + z$

（e） $x < y, z > 0$ 那么 $xz < yz$
$y - x = a > 0$
$yz = xz = a z > 0$
所以 $xz < yz$

4.2.6 如果 $x,y,z$ 是比例数，满足 $x < y, z < 0$ 那么有 $xz > yz$

因为 $z < 0$ 所以 $(-z) > 0$
所以 $x (-z) - y(-z) < 0$
所以 $yz - xz < 0$
所以 $xz > yz$

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