陶哲轩实分析 5.3 节习题试解

5.3.1

$x = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} a_n$，$y = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} b_n$，$z = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} c_n$

(1) 证明 $x = x$

$\forall \varepsilon > 0$ 都有 $|a_n - a_n| < \varepsilon$
所以 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 与 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
所以 $x = x$。

(2) 如果 $x = y, y = z$ 那么 $x = z$

$\forall \varepsilon > 0$
由于 $x = y$ ，所以 $\exists N \geq 0$ ，当 $n >N$ 时满足 $|a_n - b_n | \leq \varepsilon /2$
由于 $y = z$ ，所以 $\exists N’ \geq 0$ ，当 $n >N'$ 时满足 $|b_n - c_n | \leq \varepsilon /2$
设 $M = \max(N, N')$， 当 $n \geq M$ 时，有
$|a_n - c_n| = |a_n - b_n + b_n - c_n| \leq |a_n - b_n| + |b_n - c_n| \leq \varepsilon$
所以 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 与 $(c_n)_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
所以 $x = z$

5.3.2

$x = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} a_n$，$y = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} b_n$，$x' = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} a'_n$

(1) 证明 $xy$ 也是实数。

因为 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 Cauchy 序列。所以 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是有界的。
也就是说存在一个 $M > 0$，对任意的 $n \geq 0$ 都有 $|a_n| \leq M$。
因为 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 Cauchy 序列。所以 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是有界的。
也就是说存在一个 $M' > 0$，对任意的 $n \geq 0$ 都有 $|b_n| \leq M'$。
设 $M'' = \max(M, M')$ 那么对任意 $n \geq 0$ 都有 $|a_n| \leq M''$ 和 $|b_n| \leq M''$。

$\forall \varepsilon > 0$
因为 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 Cauchy 序列。所以存在一个 $N_1 \geq 0$ 当 $i,j \geq N_1$ 时满足 $|a_i - a_j| \leq \frac{\varepsilon} {2 M''}$
因为 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 Cauchy 序列。所以存在一个 $N_2 \geq 0$ 当 $i,j \geq N_2$ 时满足 $|b_i - b_j| \leq \frac{\varepsilon} {2 M''}$

所以

$$\begin{eqnarray} |a_i b_i - a_j b_j| &=& |a_i b_i - a_i b_j + a_i b_j - a_j b_j| \\ &\leq& |a_i b_i - a_i b_j| + |a_i b_j - a_j b_j| \\ &=& |a_i ||b_i - b_j| + | b_j||a_i - a_j| \\ &\leq& M'' |b_i - b_j| + M'' |a_i - a_j| \\ &\leq& M'' \frac{\varepsilon} {2 M''} + M'' \frac{\varepsilon} {2 M''} \\ &=& \varepsilon \end{eqnarray}$$

所以 $(a_n b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 Cauchy 序列。
所以 $xy$ 是实数。

(2) 证明如果 $x = x'$ 那么 $xy = x' y$

因为 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(a'_n)_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
所以对 $\forall \varepsilon > 0$ 都存在一个 $N \geq 0$，当 $n \geq N$ 时，有 $|a_n - a'_n| \leq \varepsilon / M'$
因此，当 $n \geq N$ 时，有

$$\begin{eqnarray} |a_n b_n - a'_n b_n| &=& |a_n - a'_n| |b_n|\\ & \leq& |a_n - a'_n| M' \\ &\leq & M' \frac{\varepsilon}{M'}\\ &=& \varepsilon \end{eqnarray}$$

所以 $(a_n b_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(a'_n b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
所以 $xy = x' y$

5.3.3

因为 $a = b$
所以对 $\forall \varepsilon > 0$ 有 $|a - b| \leq \varepsilon$
所以 $(a)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(b)_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
所以 $\mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} a = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} b$

因为 $\mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} a = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} b$
所以 对 $\forall \varepsilon > 0$ 有 $|a - b| \leq \varepsilon$
所以 $a = b$

5.3.4

$(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 有界， $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 与 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 等价。证明 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是有界的。

因为 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 与 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 等价，所以 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 与 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ - 接近的。
根据习题 5.2.2 的结论，所以 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是有界的。

5.3.5

证明 $\mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$

$0 = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} (0)$
$\forall \varepsilon > 0$ 都存在 $N > \frac{1}{\varepsilon}$，当 $n > N$ 时，有：
$|\frac{1}{n} - 0| < |\frac{1}{N}| < \varepsilon$

所以 $(\frac{1}{n})_{n=0}^{\infty}$ 和 $(0)_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
所以 $\mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$

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